大家好呀，我是量子小辐。大家还记得科学小马三千问系列的第一期吗？内容是“计算云中城的高度”。时候我是准大一，不会微分方程求解和复杂积分运算，所以是按照匀速直线运动计算的；现在我准研一，实在看不下去以前那些粗糙的计算了，干脆一不做二不休重置了一下。在之后的一段时间里，我也会逐步重新计算一些早年给出的、不严谨的物理模型，并尝试给出更加精确的答案。

所以今天的主题还是：更科学的小马三千问——云中城有多高？

(资料图片仅供参考)

首先，我们要定义一下小马世界里的关键长度标尺，例如从这个片段中我们可以通过苹果作为参照，估算小马脑袋的大小：

苹果直径一般在40~80mm之间，萍琪派的脑袋直径大约相当于苹果直径的三倍，而且我对苹果杰克的果园产出的果实大小很有信心，因此我们估计小马脑袋可近似看做一枚直径约为30cm的球。

然后我们可以利用脑袋作为参照物，再次比对小马的身体，计算出小马的估算体重：

好吧不由得承认小马这种生物构造真的很奇特，“小马的眼睛半个脑袋大，小马的耳朵眼睛一样大。小马的翅膀没有脑袋大，小马的脑袋比身体还要大”，小马的全身质量估算大约等于2.5个头，而生物的密度又和水近似，因此我们可以用上述数据算出小马的质量约为35kg。

接下来我们找到了瑞瑞从云中城掉下来时的一段视频，其跌落时间大约为53秒。

在空气中自由下落，除了受到重力的影响外，还存在空气阻力对其进行减速。而空气阻力计算公式为：

F=½CρSv²         （1）   其中 C为空气阻力系数，ρ为空气密度，S物体迎风面积，v为物体与空气的相对运动速度。

利用同样的比例尺，容易得出瑞瑞下落时迎风面积约为0.2m²。查阅相关文献，人体在自由落体时的阻力系数一般为0.3~0.5，我们取中间值0.4，暂且忽略空气密度随海拔高度的变化，取为常数1.2kg/m³。

首先我们要计算瑞瑞下落时的终末速度，此时空气阻力应该和其重力相等，即F=G。

将G=350N带入（1）式，可得出v"=85m/s。

接着我们需要计算瑞瑞花了多久加速到终末速度。为此我们列出其运动微分方程：

取g=10m/s²，将数据带入并解得：

将终末速度v"带入，可得加速终末时间t"=26s。

也就是说瑞瑞的坠落过程由一段26s的加速运动和27s的匀速运动组成。

最后我们需要算出瑞瑞加速运动的总路程。将（3）式t-v图像

绘制如下：

由定义，

相当于图形这一部分的面积：

但（3）式的反函数是无解析解的，因此我们只能解出：

相当于这一部分的面积：

即：

但二者很容易相互转换，只需用矩形面积减去红色面积即可得蓝色面积：

因此有：

加上后半段瑞瑞匀速坠落的距离，可得出云中城的离地高度约为：

h=1716m+27x85m=4011m

嗯，和第一次全程按照匀速直线运动计算的结果误差还挺大的......

所以云中城的“更科学高度”应该是4000米左右！

接着咱们再算一个比较地狱的问题，云宝黛西在瑞瑞落地前的一瞬间接住了瑞瑞，并做了个垂直机动，从而防止她直接摔到地面上，我们来算算这个过程中瑞瑞和云宝受到的过载是多少。

假设她们之间相互作用的时间为1s（实际时间应该远远小于1s），那么瑞瑞在垂直方向的动量改变为85x35kgm/s，即2975kgm/s，受到的平均作用力大小为2975N，平均竖直过载为85g。

所以算上水平方向的加速过载（我们也近似认为花了1秒钟，但实际上应该远远不到一秒），瑞瑞至少能承受高达为120g的过载！

这是真 安东飞马......